WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Functies en grafieken

Snijding kromme en niveaukrommen

Beste

In de bijlage staat de opdracht concreet uitgelegd, namelijk een snijpunt vinden met alle mogelijke niveaukrommen van de vorm x²y³ = K. Ik heb de grafiek hiervan ook getekend om een duidelijker zicht voor mezelf te maken. Maar ik heb moeilijkheden met het vinden van een kromme die aan de voorwaarde voldoet. Ik heb twee redeneringen: ofwel een kromme die afhangt van de waarde K, ofwel een cirkel met een straal die oneindig groot is. Maar voor eentje die afhankelijk is voor K vind ik niet direct eentje die ook voldoet aan de eerste voorwaarde, en de tweede is niet echt plausibel. Weet u hoe ik heer mee verder moet? (zie bijlage)
Alvast bedankt.
Jacob
4-1-2024

Antwoord

Je moet een differentiaalvergelijking opstellen.
Als $(x_0,y_0)$ op de kromme $x^2y^3=K$ ligt dan kun je de raaklijn aan de kromme in dat punt door impliciet differentiëren (doe alsof $y$ een functie van $x$ is):
$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}x^2y^3=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}K
$$en dat wordt
$$2x\cdot y^3+x^2\cdot3y^2\cdot y'=0
$$of $y'=-\frac23\cdot y\cdot x^{-1}$.

Dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt $y'(x_0)=-\frac23\cdot y_0\cdot x_0^{-1}$.
De lijn daar loodrecht op heeft dan richtingscoëfficiënt $\frac32\cdot y^{-1}\cdot x$.

De functie die je kromme beschrijft moet dus altijd voldoen aan
$$y'(x)=\frac{3x}{2y}
$$Los die differentiaalvergelijking op en neem de oplossing die door $(2,-1)$ gaat. (Het is een hyperbool.)
kphart
4-1-2024

Niveaukrommen

Twee niveaukrommen Nk en Nl met k is niet gelijk aan l van een functie z = f(x,y) kunnen elkaar raken in een gemeenschappelijk punt. Is dit waar of niet + uitleg?
H
4-1-2024

Antwoord

Wat denk je zelf? Stel dat die twee krommen elkaar raken in een punt $(a,b)$; wat weet je dan van $f(a,b)$? En wat concludeer je dan?
kphart
4-1-2024

Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies

Bereken de parameter $a$ zodat $y=x$ een raaklijn is aan de grafiek van:

$
\eqalign{f(x) = \frac{{a + \ln (x)}}
{{x^2 }}}
$
Annick
21-1-2024

Antwoord

Je moet dus $a$ zo bepalen dat er een $x$ is met $f(x)=x$ en $f'(x)=1$.
De eerste vergelijking geeft $a+\ln(x)=x^3$ en de tweede geeft
$1-2(a+\ln(x))=x^3$ (bereken $f'(x)$ maar).
Nu kun je $x$ bepalen, via $1-2x^3=x^3$, en dan $a$.
kphart
22-1-2024

Rechten tekenen

Teken de onderstaande rechten:

f: 4x=-8
g: y=-3
h: 4x+2y-1=0

Bepaal het snijpunt van f en g en het snijpunt van g en h. Toon op een assenstelsel hoe je de grafieken moet tekenen.
Alyssa
13-2-2024

Antwoord

f.
4x=-8 kan je schrijven als x=-2. Dat is een verticale rechte bij x=-2

g.
y=-3 is een horizontale rechte bij y=-3

h.
4x+2y-1=0 kan je schrijven als:

4x+2y-1=0
4x+2y=1
2y=-4x+1
y=-2x+¹/₂

Dat is een rechte door (0,¹/₂) met een richtingscoëfficient van -2.

Het snijpunt van f en g is (-2,-3) en het snijpunt van g en h kan je vinden door y=-3 in te vullen:

4x+2·-3-1=0
4x-6-1=0
4x-7=0
4x=7
x=⁷/₄

Het snijpunt is (⁷/₄,-3)
WvR
13-2-2024

Coördinaten

Vul de coördinaten aan zodat de punten op de gegeven rechte liggen.
a 3x-2y+4=0
1) (0,...)
2) (...,3)
Alyssa
15-2-2024

Antwoord

1)
Als x=0 krijg je 3·0-2y+4=0.
Daarmee reken je dan de y-coördinaat uit.

2)
Als y=3 krijg je 3x-2·3=0.
Daarmee reken je dan de x-coördinaat uit.
WvR
15-2-2024

Bepaal de cartesische vergelijking van de rechte

Bepaal de cartesische vergelijking van de rechte

1) de rechte a door de oorsprong B (-3,2)
2) de rechte a evenwijdig met de x-as en A(5:2;-4) element van a
3) de rechte b als: rico b=5 en A(-2;3) is een element van b
Alyssa
15-2-2024

Antwoord

1)
De vergelijking wordt y=ax waarbij a de rechtingscoëfficient is. Vul de coördinaten van B in om die uit te rekenen.
Je krijgt 2=a·-3.
Daarmee reken je de waarde van a uit.

2)
Een rechte evenwijdig aan de x-as heeft als vergelijk y=a. De y-waarde is -4, dus de verlijking wordt y=-4

3)
De vergelijking wordt y=5x+b. Vul de coördinaten van A in om b uit te rekenen.
Je krijgt 3=5·-2+b.
WvR
15-2-2024

Onderzoek of de volgende punten collineair zijn

Onderzoek of de volgende punten collineair zijn.
A(0,2), B(-3,11) en C(2,-4)
Alyssa
15-2-2024

Antwoord

Stel een vergelijking op voor de rechte door A en B. Vul daarna de coördinaten van C in om te kijken of C ook op die rechte ligt.

Op Formules bij rechte lijnen kan je zien hoe je een vergelijking opstelt voor de rechte door twee punten.

$
\eqalign{
& a = \frac{{11 - 2}}
{{ - 3 - 0}} = \frac{9}
{{ - 3}} = - 3 \cr
& y = - 3\left( {x - 0} \right) + 2 \cr
& y = - 3x + 2 \cr
& {\text{Invullen:}} \cr
& - 4 = - 3 \cdot 2 + 2 \cr
& - 4 = - 6 + 2 \cr
& - 4 = - 4 \cr
& {\text{Klopt!}} \cr
& {\text{A}}{\text{,B}}\,\,{\text{en}}\,\,{\text{C}}\,\,{\text{collinear}} \cr}
$
WvR
15-2-2024

Zet onderstaande vergelijkingen om naar de algemene vergelijking

Zet onderstaande vergelijkingen om naar de algemene vergelijking

1) y=1:2x-5
2) 2y+5=-4x+3
3) 3y=-x
Alyssa
15-2-2024

Antwoord

Als de algemene vergelijking y=ax+b is dan krijg je:

1)
y=¹/₂x-5

2)
2y+5=-4x+3
2y=-3x-2
y=-³/₂x-1

3)
3y=-x
y=-¹/₃x
WvR
15-2-2024

Kenmerken van een rechte

a
x-3y+2=0
richtingscoeffient?
stijgende/dalende rechte?
snijpunt met de y-as?

b
x-4=0
richtingscoeffient?
stijgende/dalende rechte?
snijpunt met de y-as?

c
x+y=0
richtingscoeffient?
stijgende/dalende rechte?
snijpunt met de y-as?
Alyssa
15-2-2024

Antwoord

Schrijf de vergelijking in de algemene vorm. Voor y=ax+b is a de richtingscfoëfficient en (0,b) het snijpunt met de y-as. Als a $>$ 0 dan is de rechte stijgend als a $<$ 0 dan is de rechte dalend.
Zou dat lukken?

Naschrift
Voor een horizontale rechte is a gelijk aan nul. De rechte is dan niet dalend en niet stijgend. Voor een verticale rechte gebruik je vergelijking x=a. Zo’n rechte is stijgend.
WvR
15-2-2024

Re: Symmetriemiddelpunt bepalen

Je zou ook het gemiddelde van de twee extrema kunnen pakken indien de functie deze heeft. Maar ik denk persoonlijk dat heet inderdaad het gemakkelijkste is om het nulpunt v.d. tweede afgeleide te nemen.

toon
18-4-2024

Antwoord

Inderdaad. Klopt.
LL
18-4-2024

Gegeven de kromme

X= -t.e^t
Y= t.e^-t
Bewijs dat de lijn y=X de symmetrieas is van deze kromme.
Bij voorbaat dank
Willem
22-4-2024

Antwoord

Je moet dus laten zien dat je uit deze parameter voorstelling dezelfde kromme krijgt als je spiegelt in de lijn y=x. Ofwel als je de x en de y coördinaat verwisselt.

Spiegelen in de lijn y=x levert dus op

x=t·e^-t
y=-t·e^t

Nu te bewijzen dat elk punt van de tweede kromme ook op de eerste ligt. Het punt dat je krijgt door t=a in te vullen ligt nu ook op de eerste kromme maar dan bij t=-a. Ga maar na. Eigenlijk is hier verder weinig aan te bewijzen.

Met vriendelijke groet
JaDeX
jadex
22-4-2024